Teoría del Tema
Definición
Geométricamente, la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición de que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, se mantiene constante y siempre es mayor que la distancia entre ellos.
Se obtiene intersecando una de las hojas de una superficie cónica circular recta con un plano inclinado (oblicuo al eje y no paralelo a la generatriz).
Elementos principales
- Centro (C): Punto central de la elipse. Se denota por sus coordenadas C(h, k).
- Focos (F1 y F2): Puntos fijos sobre el eje mayor. La distancia del centro al foco se conoce como distancia focal (c).
- Vértices (V1 y V2): Puntos extremos de la elipse sobre el eje focal.
- Eje Mayor (o focal): Es el segmento más largo, mide 2a. Pasa por el centro y los focos.
- Eje Menor: Es el segmento más corto, perpendicular al eje mayor, mide 2b.
Propiedades y Fórmulas Clave
-
Relación Pitagórica Fundamental:
a2 = b2 + c2 -
Lado Recto (LR): Segmento perpendicular al eje mayor que pasa por un foco.
LR = 2b2 / a -
Excentricidad (e): Mide el grado de "achatamiento" de la elipse.
e = c / a (Siempre debe cumplirse que e < 1)
Ecuaciones Ordinarias de la Elipse
| ELIPSE HORIZONTAL | ELIPSE VERTICAL |
|---|---|
|
El eje focal es paralelo al eje X. (x - h)2 / a2 + (y - k)2 / b2 = 1 |
El eje focal es paralelo al eje Y. (x - h)2 / b2 + (y - k)2 / a2 = 1 |
Ecuación General
Al desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria y agrupar términos, se obtiene la forma general de la elipse:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Condición necesaria para su existencia
Para que la ecuación general represente geométricamente una elipse, debe cumplirse obligatoriamente que los coeficientes de las variables cuadráticas (es decir, A y C) tengan el mismo signo pero sean de distinto valor absoluto (A ≠ C).
Resolución de Problemas y Gráficos
A continuación se visualizan los ejercicios resueltos y los gráficos de GeoGebra solicitados en la evaluación.
